Механической системы закон его движения 10.08.2018 – Категория: Таможенное право

Дифференциальные уравнения движения механической системы

 

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n > 1 материальных точек Mk(k = 1,2,…,n), положение которых относительно инерциальной системы отсчета Oxyz определяются радиус-векторами (рис. ). Пусть

точку можно рассматривать как свободную, движущуюся под действием сил , и к каждой точке применим основной закон динамики:

()

Учитывая, что , перепишем равенства () в виде дифференциальных уравнений:

()

Таких уравнений будет (n) штук. Это векторная форма записи дифференциальных уравнений дискретной механической системы. В уравнениях силы могут зависеть только от времени, положения и скорости точек системы.

Перепишем уравнения () в проекциях на неподвижные оси системы координат Oxyz:

()

Получим скалярную форму (3n) дифферециальных уравнений движения механической системы.

Основная задача динамики механической системы состоит в том, чтобы по известным силам, действующим на точки механической системы, определить движение каждой точки системы. Неизвестными при этом являются также внутренние силы и реакции внешних связей. Решение основной задачи сводится к интегрированию уравнений (). К уравнениям необходимо присоединять уравнения связей.

Если уравнения удовлетворяют условиям существования и единственности решения, то общее решение системы () запишется в виде:

Чтобы из этого семейства решений выделить одно, необходимо задать начальные условия:

Имеем 6n условий для определения 6n констант интегрирования.

Определив константы интегрирования, получим окончательно частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Поскольку общее аналитическое решение основной задачи динамики механической системы затруднительно в общем случае, то в конкретных задачах системы уравнений () с заданными начальными условиями решаются численными методами. Дифференциальные уравнения движения () имеют практическое значение лишь при небольшом количестве материальных точек, составляющих механическую систему.

Рассмотрим простой пример.

Задача.Два ползуна с массами m1 и m2, соединённых жестким стержнем пренебрежимой массы, движутся по двум параллельным направляющим в горизонтальной плоскости. К ползуну массой m1 приложена вдоль направляющей постоянная сила . Стержень длиной наклонён к направляющей под углом (рис. ). Считая связи идеальными, определить закон движения ползунов и реакции связей.

Решение.Так как оба ползуна будут двигаться поступательно, примем их за материальные точки М1 и М2. Освободимся от связей. Для двух точек, соединённых стержнем направляющие являются внешними связями. Заменим их действие реакциями N1 и N2, перпендикулярными гладким направляющим (рис. ). Стержень является внутренний связью.

 
 

 

 


Рис.

Его действие заменим реакциями R1 и R2, являющимися противоравными внутренними силами , направленными вдоль стержня. Таким образом, имеем механическую систему, состоящую из двух материальных точек М1 и М2, движущихся под действием как внешних сил ( ), так и внутренних сил ( ).

Направим ось Ох вдоль направляющей точки М1 (рис. ). Применим к материальным точкам основной закон динамики:

  Рис. () Уравнения связей в указанной на рис системе координат будут следующими: () Проектируя векторные равенства () на ось x, получим дифференциальные уравнения движения точек:

 

()

Обозначая и учитывая условия, налагаемые связями из уравнений () следует:

()

()

Интегрируя уравнение (), получим:

где С1 и С2 – константы интегрирования, которые определим из начальных условий. Пусть начальные скорости точек равны . Тогда и закон движения точки М1 запишется в виде

.

Закон движения точки М2 с учётом уравнения связей будет следующим

.

Проектируя равенства () на ось y и учитывая уравнения связей (), получим уравнения для определения реакций и :

Откуда .

 


ПредыдущаяСледующая





Дата добавления: ; просмотров: ;


ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

Источник: komitet2010.info

Ваш комментарий